KAIDAH PENCACAHAN

 KAIDAH PENCACAHAN

A. Aturan Penjumlahan

Misalkan, ada cara melakukan kegiatan 1, cara melakukan kegiatan 2, ..., cara melakukan kegiatan k, dimana semua kegiatan tersebut tidak dapat dilakukan bersamaan, maka banyak cara melakukan seluruh kegiatan adalah:

Kapan digunakan aturan penjumlahan?
Aturan penjumlahan dipakai jika:

1. Ada beberapa kegiatan berbeda namun hanya satu yang dilakukan.
2. Kita sedang membagi kasus (terkadang ketika membagi kasus, aturan penjumlahan biasanya dipakai beriringan dengan kaidah atau rumus lain).

Contoh 1.

Sultan memiliki 3 mobil, 2 sepeda motor dan 4 sepeda. Berapa cara Sultan dapat ke kantor dengan kendaraannya?
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa Sultan hanya dapat menggunakan salah satu kendaraan (tidak dapat menggunakannya bersamaan).
Jadi, dengan aturan penjumlahan banyak cara Sultan pergi ke kantor dengan kendarannya adalah:
3 + 2 + 4 = 9 cara.

Contoh 2.

Agnes Monika hendak mendengarkan lagu, terdiri dari 5 lagu irama pop, 4 lagu irama rock dan 2 irama dangdut. Berapa cara ia dapat memilih lagu yang akan didengar?
Penyelesaian:
Agnes Monika hanya dapat mendengar salah satu lagu (tidak dapat mendengarkannya secara bersamaan).
Jadi, dengan aturan penjumlahan, banyak cara Agnes Monika memilih lagu yang akan didengarnya adalah:
5 + 4 + 2 = 11 cara

B. Aturan Perkalian 

Misalkan, ada cara melakukan kegiatan 1, cara melakukan kegiatan 2, ..., cara melakukan kegiatan k, dimana semua kegiatan tersebut dilakukan bersamaan, maka banyak cara melakukan seluruh kegiatan adalah:

Kapan digunakan aturan perkalian?
Aturan perkalian dipakai jika:

1. Ada satu kegiatan terdiri dari beberapa tahap.
2. Ada beberapa kegiatan berbeda yang semuanya harus dilakukan.

Contoh 1.

Candra mempunyai 6 buah kaus, 5 buah kemeja dan 4 buah celana panjang. Tentukan banyaknya variasi pakaian yang dapat dipakai Candra?
Penyelesaian:
Candra dapat memakai kaus, kemeja, dan celana panjang secara bersamaan.
Jadi, dengan aturan perkalian banyak variasi pakaian yang dapat dipakai Candra adalah:

= 6 x 5 x 4
= 120 variasi

Contoh 2.

Suatu menu makan siang terdiri dari sayur, lauk, buah dan minuman masing-masing satu macam. Jika terdapat 3 macam sayur, 4 macam lauk, 5 macam buah dan 3 macam minuman. Berapakah banyaknya menu makan siang yang dapat dipilih?
Penyelesaian:
Dengan aturan perkalian banyak menu yang dapat dipilih adalah:

= 3 x 4 x 5 x 3
= 180 menu

C. Pemantapan Aturan Penjumlahan dan Perkalian

Soal No. 1

Tentukan banyak bilangan yang terdiri dari tiga angka berbeda yang dapat dibentuk dari angka 2, 3, 4, 5, dan 7.
Penyelesaian:
Kita gunakan aturan pengisian tempat atau sering juga disebut aturan perkalian.
Banyak angka yang tersedia adalah 5 angka yaitu 2, 3, 4, 5 dan 7.
Karena kita akan membentuk tiga angka berbeda, maka kita sediakan 3 kotak.

• Kotak pertama untuk angka ratusan, banyak angka yang dapat digunakan untuk angka ratusan adalah 5 angka.
• Kotak kedua untuk angka puluhan, karena susunan angka harus berbeda berarti angka yang sudah terpilih untuk angka ratusan tidak digunakan lagi, sehingga sisa angka yang dapat digunakan untuk angka puluhan adalah 4 angka.
• Kotak ketiga untuk angka satuan, karena susunan angka harus berbeda maka angka yang sudah terpilih untuk angka ratusan dan puluhan tidak digunakan lagi, sehingga sisa angka yang dapat digunakan untuk angka satuan adalah 3 angka.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan pengisian kotak berikut:

Soal No. 2

Tentukan banyak bilangan ribuan yang dibentuk dari angka 0, 1, 3, 4, 5, 7 dan 8 dengan syarat tidak ada angka yang berulang.
Penyelesaian:
Karena kita akan membentuk bilangan ribuan (4 angka berbeda), maka kita sediakan 4 kotak.

• Kotak pertama untuk angka ribuan. Dari angka 0, 1, 3, 4, 5, 7 dan 8, angka yang dapat digunakan untuk ribuan adalah 1, 3, 4, 5, 7 dan 8. Jadi, banyak angka untuk ribuan adalah 6 angka.
• Kotak kedua untuk angka ratusan. Salah satu dari angka yang tersedia yaitu 0, 1, 3, 4, 5, 7 dan 8 telah kita gunakan untuk angka ribuan, maka sisa angka untuk ratusan adalah 6 angka.
• Kotak ketiga untuk angka puluhan. Dua angka telah kita gunakan untuk ribuan dan ratusan, maka angka yang tersisa untuk puluhan adalah 5 angka.
• Kotak keempat untuk satuan. Tiga angka telah kita gunakan untuk ribuan, ratusan dan puluhan, maka angka yang tersisa untuk satuan adalah 4 angka.

Untuk lebih jelasnya perhatikan pengisian kotak berikut:

= 6 x 6 x 5 x 4
= 720 bilangan

Soal No. 3

Tentukan banyak bilangan genap yang terdiri dari tiga angka berbeda yang kurang dari 500 dan dibentuk dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7.
Penyelesaian:
Pada soal ini kita akan membentuk bilangan tiga angka dengan syarat:

• Bilangan prima (2, 3, 5, 7)
• Bilangan kurang dari 500 (angka ratusan: 2, 3)

Ternyata syarat 1) dan 2) saling beririsan.
Untuk itu, masalah ini kita bagi menjadi beberapa kasus, sebagai berikut:
Tahapan pengisian menetapkan angka ratusan, memilih angka satuan (genap), dan memilih angka puluhan.

Soal No. 4

Dari 10 orang siswa akan dipilih masing-masing satu orang untuk menjabat sebagai Ketua, Wakil, Sekretaris dan Bendahara. Tentukan banyak pilihan yang mungkin.
Penyelesaian:
Kita akan memilih 4 orang maka kita sediakan 4 kotak.

= 10 x 9 x 8 x 7
= 5040 pilihan.

Soal No. 5

Bu Erna yang tinggal di Jakarta ingin pergi ke Eropa via Turki. Rute dari Jakarta ke Turki ada 5 rute penerbangan. Rute dari Turki ke Eropa ada 6 rute penerbangan. Banyak semua pilihan rute penerbangan dari Jakarta ke Eropa pergi pulang jika tidak boleh melalui rute yang sama adalah ...
Penyelesaian:
Rute pergi: Jakarta – Turki – Eropa
Jakarta – Turki = 5 rute
Turki – Eropa = 6 rute
Seluruh rute pergi = 5 x 6 = 30 rute
Rute pulang: Eropa – Turki – Jakarta
(tidak boleh melalui rute yang sama, maka setiap rute dikurangi 1)
Eropa – Turki = 5 rute
Turki – Jakarta = 4 rute
Seluruh rute pulang = 5 x 4 = 20 rute
Jadi, seluruh rute pergi-pulang = rute pergi x rute pulang yaitu 30 x 20 = 600 pilihan rute

 

Sumber:

https://www.catatanmatematika.com/2021/05/materi-kaidah-pencacahan-aturan-penjumlahan-dan-aturan-perkalian.html